Ec. de Einstein y agujeros negros

Clase 9

Plan de la Clase

  • Repaso última clase (antes del paro).
  • Propiedades de la solución de Schwarzschild.
  • Ejercicios prácticos:
    • Cálculo de los símbolos de Christoffel.
    • Ecuación geodésica.
    • Tutoriales de Einsteinpy.

La conexión: símbolos de Christoffel

  • Los símbolos de Christoffel, o conexión, están dados por:

Γμνα=12gαβ(∂μgνβ+∂νgμβ−∂βgμν)\Gamma^\alpha_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\alpha\beta} \left(\partial_\mu g_{\nu\beta} + \partial_\nu g_{\mu\beta} - \partial_\beta g_{\mu\nu}\right)

  • Contiene primeras derivadas de la métrica.
  • Permite construir piezas fundamentales como la derivada covariante, o el Tensor de Riemann.

El Tensor de Riemann

  • El tensor de Riemann contiene información sobre la curvatura del espaciotiempo:

R  βγδα=∂γΓ  δβα−∂δΓ  γβα+Γ  γμαΓ  δβμ−Γ  δμαΓ  γβμR^\alpha_{\;\beta\gamma\delta} = \partial_\gamma \Gamma^\alpha_{\;\delta\beta} - \partial_\delta \Gamma^\alpha_{\;\gamma\beta} + \Gamma^\alpha_{\;\gamma\mu}\Gamma^\mu_{\;\delta\beta} - \Gamma^\alpha_{\;\delta\mu}\Gamma^\mu_{\;\gamma\beta}

  • Este tensor nos permite identificar un espaciotiempo curvo independientemente de que coordenadas utilizamos.

Tensor y escalar de Ricci

Existen dos contracciones importantes del tensor de Riemann:

  • Tensor de Ricci : Rμν=R  μαναR_{\mu\nu}=R^\alpha_{\;\mu\alpha\nu}.

  • Escalar de Ricci : R=gμνRμν=R  ααR = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} = R^{\alpha}_{\;\alpha}

    • (i.e., la traza del tensor de Ricci).

  • Así como el tensor de Riemann, ambos objetos también contienen información sobre la curvatura del espaciotiempo.

Las ecuaciones de campo de Einstein

Las Ecuaciones de Campo de Einstein (EdE) conectan la geometría del espaciotiempo al contenido de materia y energía:

Gμν=Rμν−12R gμν=8πG Tμν\boxed{ G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R\,g_{\mu\nu} = 8\pi G\,T_{\mu\nu} }

  • Geometría: El tensor de Einstein GμνG_{\mu\nu} (curvatura).
  • Materia/Energía: Tensor de energía-momento TμνT_{\mu\nu} (distribución de masa y energía).

RG y teoría de Newton

Cantidad Gravedad Newtoniana Relatividad General
Campo fundamental Potencial Φ\Phi Métrica gμνg_{\mu\nu}
Ecuación de movimiento Fi=maiF^i=m a^i aμ=0a^\mu=0 (geodésica)
Tensor de marea Rij=∂i∂jΦR_{ij}=\partial_i \partial_j \Phi Riemann RσμνρR^\rho_{\sigma\mu\nu}
Ecuación de campo ∇2Φ=4πGρ\nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho Gμν=8πGTμνG_{\mu\nu} = 8\pi G T_{\mu\nu}

La solución de Schwarzschild

La métrica de Schwarzschild es una solución a las ecuaciones de Einstein para una partícula puntual.

  • Vacío (masa-energía solo en el origen)
  • Simetría esférica
  • Métrica estacionaria

La solución de Schwarzschild

El elemento de línea (métrica) de Schwarzschild es:

ds2=−(1−2GMr)dt2+(1−2GMr)−1dr2+r2dΩ2ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{r}\right)dt^2 + \left(1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2d\Omega^2

donde:

  • dΩ2=dθ2+sin⁡2θ dϕ2d\Omega^2=d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2 (parte angular).
  • MM: parámetro de masa.

La solución de Schwarzschild

  • Notar que se recupera la métrica de Minkowski al alejarse mucho de la partícula (r≫2GMr\gg 2GM):

    ds2≈−dt2+dr2+r2dΩ2ds^2 \approx -dt^2+dr^2+r^2 d\Omega^2

  • Por otra parte: qué pasará cuando la métrica se indetermina?

El horizonte de eventos

  • Radio de Schwarzschild:

rs=2GMc2r_s = \frac{2GM}{c^2}

  • Horizonte de eventos en r=rsr=r_s: la luz no puede escapar.
  • La métrica diverge en r=rsr=r_s. Sin embargo, esta es una singularidad de coordenadas, i.e. desaparece si elegimos otro sistema de coordenadas conveniente.
    • La divergencia en r=0r=0 sí es física: la curvatura diverge.

El horizonte de eventos

  • Fuera del horizonte (r>rsr>r_s): los observadores pueden permanecer estáticos.
  • En el horizonte (r=rsr=r_s): las trayectorias de la luz no puede escapar.
  • Dentro del horizonte (r<rsr<r_s): cualquier trayectoria lleva a la singularidad (r=0r=0).

Taller (próxima clase)

Para el taller utilizaremos la métrica de Schwarzschild. En particular, nos interesará

  1. Calcular los símbolos de Christoffel.
  2. Resolver la ecuación geodésica.
  3. Explorar la librería EinsteinPy

## **El horizonte de eventos**

- El área de una esfera de radio $r=r_s$ es:

$$

A=4\pi r_s^2=16\pi G^2M^2

$$

- Esto define el "tamaño" del agujero negro.

- Es decir, la región de "no retorno".

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