Las Ecuaciones de Einstein

Clase 8

Plan de la Clase

  • Repaso última clase.
  • El tensor de Riemann.
  • Las Ecuaciones de Einstein.
  • La solución de Schwarzschild.

Resumen de la última clase

  • Geodesicas: Trajectorias de partículas "libres" en una espaciotiempo curvo.
    • Son la generalización del concepto de línea recta, i.e. la distancia más corta entre dos puntos.
  • Derivada covariante ∇μ\nabla_\mu: Generaliza el concepto de derivada parcial para tensores.
    • Se reduce a la derivada parcial en el caso de escalares.

La derivada covariante

  • En espacios curvos, la noción de derivada tradicional (parcial) se generaliza a la derivada covariante:

∇μvα=∂μvα+Γμναvν\nabla_\mu v^\alpha = \partial_\mu v^\alpha + \Gamma^\alpha_{\mu\nu} v^\nu

∇μvα=∂μvα−Γμανvν\nabla_\mu v_\alpha = \partial_\mu v_\alpha - \Gamma^\nu_{\mu\alpha} v_\nu

La conexión: símbolos de Christoffel

  • Los símbolos de Christoffel, o conexión, están dados por:

Γμνα=12gαβ(∂μgνβ+∂νgμβ−∂βgμν)\Gamma^\alpha_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\alpha\beta} \left(\partial_\mu g_{\nu\beta} + \partial_\nu g_{\mu\beta} - \partial_\beta g_{\mu\nu}\right)

  • Es un objeto simétrico con dos índices, pero realmente no es un tensor.

La ecuación geodésica

  • En RG, la gravedad ya no es una fuerza , i.e. las partículas son "libres" (a menos que incluyamos una fuerza real).

aμ=DvμDτ=uμ∇νuν=0a^\mu=\frac{Dv^\mu}{D\tau}=u^\mu \nabla_\nu u^\nu = 0

  • Explícitamente, la ecuación geodésica toma la forma:

d2xαdτ2+Γμναdxμdτdxνdτ=0\boxed{ \frac{d^2 x^\alpha}{d\tau^2} + \Gamma^\alpha_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau} = 0 }

La ecuación de marea en RG

  • La ecuación anterior es análoga a la 2da ley de Newton.
  • Qué pasa si intentamos buscar el equivalente a la ecuación de marea de la gravedad Newtoniana?

La idea es aplicar la ecuación geodésica a dos partículas cercanas, expandir en Taylor, y escribir una ecuación para el vector de separación entre ambas.

La ecuación de marea en RG

  • Al repetir el razonamiento que nos llevó a la ecuación de marea:
    • En vez de F=−∇ΦF=-\nabla{\Phi}, ahora aparece Γ∼∂gμν\Gamma\sim\partial g_{\mu\nu}.
    • Luego, donde antes apareció Φ\Phi ahora aparece gμνg_{\mu\nu}.
    • Los términos ∼∂∂Φ\sim\partial\partial\Phi ahora aparece ∼∂∂gμν\sim\partial\partial g_{\mu\nu}.

La ecuación de marea en RG

  • La versión de RG de la ecuación de marea es la ecuación de desviación geodésica:

d2Δxαdτ2=−R  βγδαuβuγΔxδ\boxed{ \frac{d^2\Delta x^\alpha}{d\tau^2} = - R^\alpha_{\;\beta\gamma\delta}u^\beta u^\gamma \Delta x^\delta }

donde el tensor de Riemann está dado por:

R  βγδα=∂γΓ  δβα−∂δΓ  γβα+Γ  γμαΓ  δβμ−Γ  δμαΓ  γβμR^\alpha_{\;\beta\gamma\delta} = \partial_\gamma \Gamma^\alpha_{\;\delta\beta} - \partial_\delta \Gamma^\alpha_{\;\gamma\beta} + \Gamma^\alpha_{\;\gamma\mu}\Gamma^\mu_{\;\delta\beta} - \Gamma^\alpha_{\;\delta\mu}\Gamma^\mu_{\;\gamma\beta}

El Tensor de Riemann

  • El tensor de Riemann contiene información sobre la curvatura del espaciotiempo.

    • Un espaciotiempo es plano si y solo si el tensor de Riemann es cero en todas partes.

  • Este tensor nos permite identificar un espaciotiempo curvo independientemente de que coordenadas utilizamos.

El Tensor de Riemann: ejemplo

  • Imaginemos dos personas en la superficie de la Tierra caminando desde el ecuador hacia el norte: al inicio sus caminos son paralelos.
  • Sin embargo, al acercarse al polo norte, sus caminos convergen.
    • Se juntan aunque no haya fuerzas actuando lateralmente!
    • La superficie curva (una esfera) produce esta convergencia.

La curvatura (tensor de Riemann) genera esta convergencia.

Tensor y escalar de Ricci

Existen dos contracciones importantes del tensor de Riemann:

  • Tensor de Ricci : Rμν=R  μαναR_{\mu\nu}=R^\alpha_{\;\mu\alpha\nu}.

  • Escalar de Ricci : R=gμνRμν=R  ααR = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} = R^{\alpha}_{\;\alpha}

    • (i.e., la traza del tensor de Ricci).

  • Así como el tensor de Riemann, ambos objetos también contienen información sobre la curvatura del espaciotiempo.

Las ecuaciones de campo de Einstein

Las Ecuaciones de Campo de Einstein (EdE) conectan la geometría del espaciotiempo al contenido de materia y energía:

Gμν=Rμν−12R gμν=8πG Tμν\boxed{ G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R\,g_{\mu\nu} = 8\pi G\,T_{\mu\nu} }

  • Geometría: El tensor de Einstein GμνG_{\mu\nu} (curvatura).
  • Materia/Energía: Tensor de energía-momento TμνT_{\mu\nu} (distribución de masa y energía).

RG y teoría de Newton

Cantidad Gravedad Newtoniana Relatividad General
Campo fundamental Potencial Φ\Phi Métrica gμνg_{\mu\nu}
Ecuación de movimiento Fi=maiF^i=m a^i aμ=0a^\mu=0 (geodésica)
Tensor de marea Rij=∂i∂jΦR_{ij}=\partial_i \partial_j \Phi Riemann RσμνρR^\rho_{\sigma\mu\nu}
Ecuación de campo ∇2Φ=4πGρ\nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho Gμν=8πGTμνG_{\mu\nu} = 8\pi G T_{\mu\nu}

Las ecuaciones de campo de Einstein

En palabras del físico John Archibald Wheeler:

El espaciotiempo le dice a la materia como moverse; la materia le dice al espaciotiempo como curvarse.

  • La geometría rige el movimiento a través de las geodésicas.
  • La materia y energía infuencian la curvatura a través de las EdE.

Las ecuaciones de campo de Einstein

  • Las EdE son EDP no lineales, donde buscamos como solución las componentes de gμνg_{\mu\nu}.
  • Existen pocas soluciones analíticas, que típicamente requieren simplificaciones:
    • Simetrías (e.g. simetría esférica)
    • Vacío (Tμν=0T_{\mu\nu}=0)

La solución de Schwarzschild es una de las soluciones principales, la cual se obtiene con la simplificaciones de: vacío, esférica, estacionaria.

La solución de Schwarzschild (1916)

Karl Schwarzschild encontró la primera solución exacta de la RG tras su publicación en 1915 por Einstein.

  • Simplificaciones:
    • Simetría esférica
    • Espaciotiempo estacionario (∂tgμν=0\partial_t g_{\mu\nu}=0)
    • Espaciotiempo vacío fuera de masa puntual (Tμν=0T_{\mu\nu}=0)

La solución de Schwarzschild (1916)

El elemento de línea (métrica) de Schwarzschild es:

ds2=−(1−2GMr)dt2+(1−2GMr)−1dr2+r2dΩ2ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{r}\right)dt^2 + \left(1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2d\Omega^2

donde:

  • dΩ2=dθ2+sin⁡2θ dϕ2d\Omega^2=d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2 (parte angular).
  • MM: parámetro de masa (masa-energía).