La métrica y espacios curvos

Clase 6

Plan de la Clase

  • El tensor métrico y el elemento de línea.
  • La curvatura del espacio.

Hacia la Relatividad General

  • En la gravedad Newtoniana, la equivalencia entre masa inercial y gravitacional es un hecho experimental, sin una justificación fundamental.
  • Einstein vio esto como un indicio de una estructura más profunda.
  • En lugar de depender de las propiedades individuales de los objetos, la gravedad debe ser una propiedad del espacio-tiempo mismo.
    • En particular, en una manifestación de su curvatura.

La métrica

  • Una métrica es una herramienta para medir distancias en un espacio.
  • En coordenadas, se representa por el elemento de línea:

ds2=gijdxidxjds^2 = g_{ij} dx^i dx^j

  • gijg_{ij} son las componentes del tensor métrico.
  • El espacio puede ser plano o curvo dependiendo de cómo se comporta gijg_{ij}.

Ejemplo: Plano Euclideano 2D

  • En coordenadas cartesianas (x,y)(x, y):

ds2=dx2+dy2ds^2 = dx^2 + dy^2

  • En coordenadas polares (r,θ)(r, \theta):

ds2=dr2+r2dθ2ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2

  • Aunque la forma cambia, el espacio sigue siendo plano!
    • Es posible mostra que la curvatura es 0 en ambos casos.

Geometría curva

Consideremos ahora una esfera. Notar que hablamos de una superficie, i.e. un espacio 2D. Usamos coordenadas (θ,ϕ)(\theta, \phi):

  • θ\theta: ángulo polar (de 00 a π\pi)
  • ϕ\phi: ángulo azimutal (de 00 a 2π2\pi)

La métrica en la superficie de la esfera de radio RR es:

ds2=R2(dθ2+sin2θdϕ2)ds^2 = R^2 \left( d\theta^2 + \sin^2 \theta \, d\phi^2 \right)

Geometría curva

Un ejemplo de geometría curva es la superficie de una esfera:

esfera

Geometría curva

  • Si recorremos imaginariamente la superficie, podemos darnos cuenta que el espacio es curvo:
    • En el camino mostrado en la figura, podemos verificar que no se respeta la relación C=2πSC=2\pi S.
    • Alternativamente, podemos trazar una trayectoria "triangular", y verificar que la suma de los ángulos internos de dicho triángulo es mayor que 180°180°.

Notar que, localmente, la superficie de la esfera parece plana en vez de curva (como en el caso de la Tierra).

La curvatura en la esfera

  • Notemos que, según la dirección (ángulo) en que nos movamos sobre la esfera, la distancia recorrida es distinta:

ds2=R2dθ2+R2sin2θdϕ2ds^2 = R^2 d\theta^2 + R^2 \sin^2 \theta d\phi^2

  • A lo largo de una línea de θ=const\theta = \text{const}:

ds=Rsinθdϕ(cıˊrculo de latitud)ds = R \sin \theta d\phi \quad \text{(círculo de latitud)}

  • A lo largo de una línea de ϕ=const\phi = \text{const}:

ds=Rdθ(de polo a polo)ds = R d\theta \quad \text{(de polo a polo)}

La curvatura en la esfera

  • Es posible mostrar que la curvatura escalar (curvatura Gaussiana) KK en la esfera es:

K=1R2K = \frac{1}{R^2}

  • Esta curvatura es constante y positiva. En general:
  • En espacios planos, K=0K = 0.
  • En espacios hiperbólicos, K<0K < 0.
  • En espacios parabólicos, K>0K > 0.