Notación Tensorial

Clase 5

Plan de la Clase

• Formalismo tensorial.
• El tensor métrico.

¿Por qué usar tensores?

• Los tensores son fundamentales en la Relatividad General (RG) y en diversas ramas de la física teórica.
• Pricipio de Relatividad de Einstein: las leyes de la Física deben ser las mismas en todos los sistemas de coordenadas.
  • Las coordenadas son simplemente etiquetas para eventos. No tienen sentido físico.
  • Los tensores permiten escribir ecuaciones en forma covariante (independiente de las coordenadas), e.g.,:

  $$G_{\mu\nu} = 8\pi G T_{\mu\nu}$$

Los Tensores

• Un tensor es un objeto matemático que generaliza vectores y matrices.
• Formalmente, se caracterizan por su comportamiento bajo transformaciones de coordenadas.
• Se describen usando índices, por ejemplo:
  • Escalar: sin índice, $\Phi$
  • Vector: un índice, $v^a$ o $v_a$
  • Matriz o tensor de rango-2: dos índices, $T^{ab}$, $T_{ab}$, $T^a_{b}$, $\dots$

Tipos de Tensores

Los tensores pueden clasificarse de acuerdo a su rango:

• Escalar ($T^0$): Un número que no cambia con las coordenadas.
• Vector ($T^1$): Un objeto con una única fila o columna de componentes.
• Tensor de rango 2 ($T^2$): Una matriz que obedece transformaciones tensoriales.
• Tensor de rango superior ($T^n$): Generalización a múltiples índices.

Índices Covariantes y Contravariantes

• Índices superiores $v^a$: denominados contravariantes. Representan componentes de un vector.
• Índices inferiores $v_a$: denominados covariantes. Representan componentes de un covector.

El tipo de índice determina la forma en que los objetos se transforman bajo cambios de coordenadas.

Notación de Einstein (Suma Implícita)

• En Física, es muy común utilizar la notación de Einstein:
  • Índice repetido implica suma sobre ese índice.
• Por ejemplo, para un vector $v^a$ y un covector $w_a$:

$$v^a w_a \equiv \sum_{a=1}^{n} v^a w_a$$

• Ejemplo en 3 dimensiones:

$$v^a w_a = v^1 w_1 + v^2 w_2 + v^3 w_3$$

Operaciones Tensoriales

1. Contracción:

• Reduce el rango del tensor en 2, sumando índices superior e inferior iguales:

$$T^a_{\ a} = \sum_a T^a_{\ a}$$

Ejemplo:

$$R^a_{\ bad} = R_{bd} \quad\text{(Tensor de Riemann $\to$ Tensor de Ricci)}$$

Operaciones Tensoriales

2. Producto tensorial (producto exterior):

• Combina tensores para aumentar su rango:

$$A^a B^b = T^{ab}$$

3. Producto escalar (producto interno):

• Producto de un vector y covector:

$$v^a w_a$$

Ejemplo: Contracción y Producto Escalar

• Dados $v^a = (1,2,3)$, $w_a = (4,5,6)$:

Producto escalar:

$$v^a w_a = (1)(4) + (2)(5) + (3)(6) = 32$$

Contracción del tensor $T^a_{\ b}$:

$$T^a_{\ b} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 5\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$

Ejemplo: Contracción y Producto Escalar

Contracción $T^a_{\ a}$:

$$T^a_{\ a} = T^1_{\ 1} + T^2_{\ 2} + T^3_{\ 3} = 1 + 4 + 9 = 14$$

Notar que este tipo de contracción equivale a tomar la traza del tensor.

Ejemplo: Producto Tensorial

Dado los vectores:

$$A^\mu = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad B^\nu = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}$$

El producto tensorial es:

$$C^{\mu\nu} = A^\mu B^\nu$$

Ejemplo: Producto Tensorial

$$C^{\mu\nu} = \begin{bmatrix} 1 \times 4 & 1 \times 5 & 1 \times 6 \\ 2 \times 4 & 2 \times 5 & 2 \times 6 \\ 3 \times 4 & 3 \times 5 & 3 \times 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 12 & 15 & 18 \end{bmatrix}$$

Simetría y Antisimetría

• Existen ciertos tensores que satisfacen propiedades de simetría:

Tensor simétrico:

$$S_{ab} = S_{ba}$$

Tensor antisimétrico:

$$A_{ab} = -A_{ba}, \quad A_{aa} = 0$$

Los tensores y la geometría

• Los tensores (escalares, campos vectoriales, campos tensoriales) son en general funciones de las coordenadas:

  • Sus valores pueden variar de punto a punto en el espacio y tiempo, e.g., $\Phi$, $\vec{g}$, $\vec{E}$, $\vec{x}$, $\vec{v}$ ...

• Por lo tanto, los tensores no son objetos abstractos que "viven en el vacío": están definidos sobre un espacio(-tiempo).

  Además de tensores que representan "cantidades físicas", la geometría del espacio(-tiempo) tiene sus propios tensores.

El tensor métrico

• Existe un tensor muy especial, el tensor métrico: $g_{ab}$.
• Dado un tensor métrico $g_{ab}$, podemos bajar índices:

$$v_a = g_{ab} v^b$$

• Con el tensor métrico inverso $g^{ab}$, podemos subir índices:

$$w^a = g^{ab} w_b$$

El tensor métrico es simétrico , y actúa como un mapa entre vectores y covectores.

Resumen: Operaciones Tensoriales