El tensor de marea

Clase 4

Plan de la Clase

  • La ecuación de marea y conexión con Relatividad General.

Experimento del ascensor

Experimento del ascensor

Experimento del ascensor

El Principio de Equivalencia de Einstein

En base a este experimento mental, Einstein postuló que:

Localmente, ningún experimento puede distinguir entre un campo gravitacional, y un sistema de referencia acelerado en ausencia de gravedad.

Experimento del ascensor

  • Se puede llegar a detectar de alguna forma el campo gravitacional en el experimento del ascensor?
  • Sí es posible medirlo, pero se requiere realizar una medición en un entorno (región) dentro del ascensor.
    • No hay contradicción con el Principio de Equivalencia, ya que este vale de forma local.

Ahora, consideremos en el mismo ascensor, dos partículas muy cercanas con posiciones xix^i y xi+Δxix^i + \Delta x^i.

Tidal forces

El Tensor de Marea

El movimiento de cada partícula en presencia del campo gravitacional está dada por la 2da ley de Newton:

d2xidt2=−∂iΦ\frac{d^2 x^i}{dt^2} = -\partial^i \Phi

Aplicando esto a cada partícula, y expandiendo en serie de Taylor respecto a la separación Δxi\Delta x^i entre las partículas:

d2Δxidt2=−Δxj(∂j∂iΦ)\frac{d^2 \Delta x_i}{dt^2} = -\Delta x^j (\partial_j \partial_i \Phi)

El Tensor de Marea

Este efecto es conocido como fuerza de marea, y su magnitud está caracterizada por el tensor de marea:

Rij≡∂i∂jΦR_{ij} \equiv \partial_i \partial_j \Phi

el cual se asocia a la ecuación de marea:

d2Δxidt2=−R jiΔxj\frac{d^2 \Delta x^i}{dt^2} = -R^i_{\ j} \Delta x^j

Físicamente, este tensor mide como un campo gravitacional no uniforme estira y comprime los objetos en caída libre.

Relación con la Ecuación de Poisson

Notar que, en coordenadas cartesianas:

∇2Φ=∂x∂xΦ+∂y∂yΦ+∂z∂zΦ=Rii\nabla^2 \Phi = \partial^x\partial_x \Phi + \partial^y\partial_y \Phi + \partial^z\partial_z \Phi = R^{i}_{i}

Luego, podemos reescribir la ecuación de Poisson como:

Rii=4πGρR^{i}_{i} = 4\pi G \rho

Esta forma alternativa de la ecuación de Poisson será más cercana en forma a las ecuaciones de Einstein de la Relatividad General.

Analogía con la Relatividad General

Cantidad Gravedad Newtoniana Relatividad General
Campo fundamental Potencial Φ\Phi Métrica gμνg_{\mu\nu}
Ecuación de movimiento ∂iΦ\partial_i \Phi Símbolos de Christoffel Γαβμ(gμν,∂gμν\Gamma^\mu_{\alpha\beta}(g_{\mu\nu},\partial g_{\mu\nu})
Tensor de marea ∂i∂jΦ\partial_i \partial_j \Phi Tensor de Riemann RσμνρR^\rho_{\sigma\mu\nu}
Ecuación de campo ∇2Φ=4πGρ\nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho Gμν=8πGTμνG_{\mu\nu} = 8\pi G T_{\mu\nu}

Conclusiones

  • La gravedad Newtoniana puede entenderse en términos de un campo gravitacional, el que satisface la ecuación de Poisson.
  • Sin embargo, esta no explica experimentos tales como:
    • La desviación de la luz debido a la gravedad.
    • La precesión del perihelio de Mercurio.
  • No es relativista (incompatible con la Relatividad Especial).
  • No describe agujeros negros.
  • No predice las ondas gravitacionales.

Ejercicios Propuestos

  1. Derivar la ecuación de Poisson para el campo gravitacional a partir de las leyes de la gravedad Newtoniana.
  2. Calcular el tensor de marea para una masa puntual.

3. Comparar la aceleración de caída libre en diferentes marcos de referencia.