La Gravedad Newtoniana

Clase 2

Plan de la Clase

  • Fuerza y potencial gravitacional.
  • Algunas analogías con la electroestática.
  • La ecuación de Poisson para el potencial gravitacional y algunas soluciones.

La fuerza gravitacional de Newton

Según Newton, la fuerza de gravedad hace que los objetos sigan trayectorias curvas. Esta fuerza está dada por:

FN=mGgF_N = m_G g

donde mGm_G es la masa del cuerpo sometido a la fuerza, y gg el campo gravitacional creado por todas las demás masas.

Es posible describir esta fuerza gg mediante un campo escalar.

El Potencial Gravitacional

El campo gravitacional es un campo conservativo, por lo que se puede escribir como el gradiente de un potencial escalar:

g=−∇Φg = -\nabla \Phi

O en notación de índices:

gi=−∂iΦg_i = -\partial_i \Phi

Así, el potencial gravitacional debido una masa puntual MM es Φ(r)=−GMr\Phi(r) = -\frac{GM}{r}.

Masa gravitacional vs. Masa inercial

La ecuación de movimiento en mecánica newtoniana es:

mIa=FN=−mG∇Φm_I a = F_N = -m_G \nabla \Phi

Si la masa gravitacional y la masa inercial son iguales (mG=mIm_G = m_I), la aceleración de caída libre es:

a=−∇Φa = -\nabla \Phi

Esto explica la observación de Galileo de que todos los cuerpos caen con la misma aceleración (en ausencia del roce del aire).

Ecuación de Poisson

A partir de la 2da ley de Newton es posible derivar la ecuación de Poisson para el campo gravitacional:

∇2Φ=4πGρ\nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho

donde ρ(x)\rho(x) es la densidad de masa.

Esta es la ecuación de campo para la gravedad en la teoría de Newton. En este sentido, es el equivalente Newtoniano a las Ecuaciones de Einstein de la Relatividad General.

Ecuación de Poisson

  • Notar que la ecuación anterior ya la ha encontrado en el curso de electromagnetismo.
  • En tal caso, Φ\Phi juega el rol del potencial eléctrico:

V=kQrV = \frac{kQ}{r}

  • Por lo tanto, en el caso gravitacional también se cumple la Ley de Gauss!
    • La integral del campo eléctrico sobre una superficie cerrada (flujo) es proporcional a la carga encerrada

Gravedad vs Electromagnetismo

Gravedad Electrostática
Fuerza F=GMmr2F = \frac{GMm}{r^2} F=kq1q2r2F = \frac{k q_1 q_2}{r^2}
Campo g=GMr2g = \frac{GM}{r^2} E=kQr2E = \frac{kQ}{r^2}
Potencial Φ=−GMr\Phi = -\frac{GM}{r} V=kQrV = \frac{kQ}{r}
Ecuación de Poisson ∇2Φ=4πGρ\nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho ∇2V=−ρϵ0\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\epsilon_0}
Ley de Gauss ∮Sg⋅dS=−4πGMenc\oint_S \mathbf{g} \cdot dS = -4\pi G M_{\text{enc}} ∮SE⋅dS=Qencϵ0\oint_S \mathbf{E} \cdot dS = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}

Principio de Superposición

  • Notar que la ecuación de Poisson es una ecuación en derivadas parciales (EDP) de tipo lineal.
  • Luego, para un sistema de múltiples masas, el potencial total es la suma de los potenciales individuales:

Φ(r)=−G∑imi∣r−ri∣\Phi(\mathbf{r}) = -G \sum_i \frac{m_i}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_i|}

Qué ρ\rho se asocia a una masa puntual, y a un conjunto de ellas?

Ejemplo: Resolver la ecuación de Poisson para una masa puntual

Resuelva la ecuación de Poisson

∇2Φ=4πGρ\nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho

para encontrar el campo producido por una masa puntual.

Ejemplo: Resolver la ecuación de Poisson para una masa puntual

Para una masa puntual MM ubicada en el origen, la densidad de masa está dada por una función Delta de Dirac

ρ(r)=Mδ3(r)\rho(\mathbf{r}) = M \delta^3(\mathbf{r})

Debido a la simetría esférica del problema, la ecuación de Poisson en coordinadas esféricas toma la forma:

∇2Φ=1r2ddr(r2dΦdr)=4πGMδ3(r)\nabla^2 \Phi = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{d\Phi}{dr} \right) = 4\pi G M \delta^3(\mathbf{r})

Ejemplo: Resolver la ecuación de Poisson para una masa puntual

Para r≠0r \neq 0 (cualquier punto fuera de la masa), tenemos:

1r2ddr(r2dΦdr)=0\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{d\Phi}{dr} \right) = 0

Integrando dos veces, encontramos:

Φ(r)=−C1r+C2\Phi(r) = -\frac{C_1}{r} + C_2

Ejemplo: Resolver la ecuación de Poisson para una masa puntual

Ahora aplicamos las condiciones de borde sobre la solución.

  1. Físicamente, esperamos una solución asintóticamente plana:

    Φ(r→∞)→0  ⟹  C2=0\Phi(r\to\infty)\to0 \implies C_2=0

  2. Para determinar C1C_1, podemos aplicar la Ley de Gauss:

∮Sg⋅dS=−∮S∇Φ⋅dS=−4πGMenc\oint_S \mathbf{g} \cdot dS =-\oint_S \mathbf{\nabla}\Phi \cdot dS = -4\pi G M_{\text{enc}}

Ejemplo: Resolver la ecuación de Poisson para una masa puntual

Integrando sobre una esfera de radio ϵ\epsilon, con dS=r2dΩdS = r^2 d\Omega, encontramos que:

dΦdr∣r=ϵ4πr2=4πGM\left. \frac{d\Phi}{dr} \right|_{r=\epsilon} 4\pi r^2 = 4\pi G M

Por lo que C1=GMC_1 = G M. La solución final es entonces la esperada:

Φ(r)=−GMr.\Phi(r) = -\frac{GM}{r}.

- Gravedad vs aceleración.

- La ecuación de marea y conexión con Relatividad General.