Construcción de datos iniciales

Clase 17

Construcción de datos iniciales

  • En RG, no es trivial definir condiciones iniciales.
    • Esto en sí mismo require buscar una solución de las EdE en t=0t=0.
  • Ahora veremos como construir datos iniciales para agujeros negros.
  • El método utiliza transformaciones conformes para la solución de la ecuaciones de restricción.

Ecuaciones de Einstein en forma 3+1

Recordemos que la métrica del espacio-tiempo se escribe como:

ds2=−α2dt2+γij(dxi+βidt)(dxj+βjdt)ds^2 = -\alpha^2 dt^2 + \gamma_{ij} (dx^i + \beta^i dt)(dx^j + \beta^j dt)

donde:

  • α\alpha es el lapso (controla la evolución temporal).
  • βi\beta^i es el vector de shift (controla el movimiento de las coordenadas espaciales entre las hipersuperficies 3D).
  • γij\gamma_{ij} es la métrica espacial en cada hipersuperficie 3D.

Ecuaciones de Einstein en forma 3+1

La proyección de las EdE en cada hipersuperficie producen:

  • Restricción Hamiltoniana:

R+K2−KijKij=16πρR + K^2 - K_{ij} K^{ij} = 16\pi \rho

  • Restricción de Momentos:

Dj(Kij−γijK)=8πSiD_j (K^{ij} - \gamma^{ij} K) = 8\pi S^i

donde SiS^i es el momento lineal.

Descomposición Conforme de la Métrica

  • No es trivial resolver las ecuaciones de restricción anteriores.
  • Un método para facilitar su solución realizar una descomponer la métrica espacial en términos de un factor conforme ψ\psi, tal que:

γij=ψ4γˉij\gamma_{ij} = \psi^4 \bar{\gamma}_{ij}

donde:

  • ψ\psi será determinado usando el constraint Hamiltoniano.
  • γˉij\bar{\gamma}_{ij} es la métrica conforme, que es libremente especificada.

Constraint Hamiltoniano conforme

Con esto, la curvatura escalar (Ricci) se reescribe como:

R=ψ−4Rˉ−8ψ−5Dˉ2ψR = \psi^{-4} \bar{R} - 8 \psi^{-5} \bar{D}^2 \psi

  • Dˉ=γˉijDˉiDˉj\bar{D}=\bar{\gamma}_{ij}\bar{D}_i\bar{D}_j, donde Dˉi\bar{D}_i es la derivada covariante en el espacio conforme.
  • Rˉ\bar{R} es el escalar de Ricci en el espacio conforme.

Luego, sustituyendo en la restricción Hamiltoniana, tenemos:

Dˉ2ψ−18Rˉψ+18ψ5(KijKij−K2)=−2πψ5ρ\bar{D}^2 \psi - \frac{1}{8} \bar{R} \psi + \frac{1}{8} \psi^5 (K_{ij} K^{ij} - K^2) = -2\pi \psi^5 \rho

Ejemplo: Solución de Schwarzschild

Consideremos nuevamente el espacio vacío. Además, asumamos:

  • βi=0\beta^i=0 (corresponde a una elección de coordenadas espaciales), lo que implica que Kij=0K_{ij}=0.
  • El espacio es conformalmente plano: γˉij=δij\bar{\gamma}_{ij}=\delta_{ij}.

En este caso, el constraint Hamiltoniano se reduce a:

Dˉ2ψ=∇2ψ=0\bar{D}^2 \psi = \nabla^2 \psi = 0

Esto ya lo sabemos resolver: es la ecuación de Poisson.

Ejemplo: Solución de Schwarzschild

Luego, la solución radial es de la forma ψ=A+B/r\psi = A + B/r.

Exigiendo que la solución decaiga en r→∞r\to\infty hacia un espacio asintóticamente plano, y reescribiendo la constante B=M/2B=M/2:

ψ=1+M2r\psi = 1 + \frac{M}{2r}

Esto corresponde a la solución de Schwarzschild. Simplemente está escrita en otro sistema de coordenadas (gauge).

Datos iniciales de Brill-Lindsquit

  • En el caso anterior, el constraint Hamiltoniano, Dˉ2ψ=0\bar{D}^2 \psi = 0, tiene una propiedad matemática muy importante: es lineal.
  • Luego, la CI correspondiente a un conjunto de agujeros negros de Schwarzschild (estáticos) puede escribirse como:

ψ=1+∑nMn2rn\psi = 1 + \sum_{n} \frac{M_n}{2r_n}

Esto se conoce como la solución de Brill-Lindquist.

Datos iniciales de Brill-Lindsquit

  • Notemos que esta solución, si bien es analítica, es válida solo para un instante en el tiempo, e.g. una condición inicial.

  • Al dejar correr el tiempo, es necesario resolver las ecuaciones de evolución, y el sistema se vuelve nuevamente no-lineal.

  • ¿Qué pasa si queremos que inicialmente los agujeros negros estén en movimiento?

Para condiciones iniciales de agujeros negros en movimiento, es necesario también resolver la restricción de Momento. Ilustraremos esto a continuación.

Descomposición Conforme de KijK_{ij}

Ahora, descomponemos la curvatura extrínseca KijK_{ij} como:

Kij=Aij+13γijKK_{ij} = A_{ij} + \frac{1}{3} \gamma_{ij} K

  • K=γijKijK=\gamma^{ij}K_{ij} es la traza de KijK_{ij}.
    • Típicamente es fijada por la variable temporal de nuestro sistema de coordenadas (slicing).
  • AijA_{ij} es la parte sin traza de KijK_{ij}.

Descomposición Conforme de KijK_{ij}

La parte sin traza se puede descomponer conformalmente como:

Aij=ψ−10AˉijA_{ij} = \psi^{-10} \bar{A}_{ij}

Con esto, la restricción de Momentos se reescribe como:

DˉjAˉij−23ψ6DˉiK=8πψ10Si\bar{D}_j \bar{A}^{ij} - \frac{2}{3} \psi^6 \bar{D}^i K = 8\pi \psi^{10} S^i

A su vez, es posible descomponer Aˉij\bar{A}_{ij} en términos de dos componentes: AˉLij\bar{A}^{ij}_L (longitdutinal) y AˉTTij\bar{A}^{ij}_{TT} (transverse-traceless).

Descomposición Conforme de KijK_{ij}

Si bien no discutiremos en detalle, cualitativamente:

  • AˉTTij\bar{A}^{ij}_{TT} es la curvatura asociada a la presencia de ondas gravitacionales.
  • Luego, podemos escoger AˉTTij=0\bar{A}^{ij}_{TT}=0 por simplicidad.
  • AˉLij\bar{A}^{ij}_{L} típicamente será calculada mediante la restricción de
    Momento.

Constraint Hamiltoniano conforme

  • Con todo lo anterior, el constraint Hamiltoniano puede escribirse totalmente en términos de variables conformes.
  • En el caso del espaciotiempo vacío y conformalmente plano:

Dˉ2ψ+18ψ−7AˉLijAˉijL=0\boxed{ \bar{D}^2 \psi + \frac{1}{8} \psi^{-7} \bar{A}^{ij}_L \bar{A}^{L}_{ij} = 0 }

  • Si el (o los) agujeros negros están en movimiento, el segundo término es en general ≠0\neq0, y AˉLij\bar{A}^{ij}_L debe determinarse a partir del constraint de Momento.

Constraint de Momento conforme

  • Por su parte, resolver el constraint de momento para determinar AˉLij\bar{A}^{ij}_L tampoco es trivial.
  • De hecho, hasta ahora solo hemos discutido soluciones conformes del constraint Hamiltoniano.
  • No discutiremos esta parte, pero existe una solución para AˉLij\bar{A}^{ij}_L, conocida como solución de Bowen-York .

El Método de Punctures

  • Conocido AˉLij\bar{A}^{ij}_L, nos queda por determinar ψ\psi. Podemos "evitar" la singularidad en r=0r=0 en la solución con el siguiente método.
  • En vez de trabajar directamente con ψ\psi, escribimos:

ψ=1+1α+u\psi = 1 + \frac{1}{\alpha} + u

donde:

  • 1α=∑nMn2sn\frac{1}{\alpha} = \sum_n \frac{M_n}{2s_n} describe el comportamiento singular de ψ\psi.
  • uu es una corrección regular que se resuelve numéricamente.

El Método de Punctures

Sustituyendo en la restricción Hamiltona, obtenemos una ecuación no-lineal para uu:

Dˉ2u=−β(α+αu+1)−7\bar{D}^2 u = -\beta (\alpha + \alpha u + 1)^{-7}

  • Esto transforma el problema en la resolución de una ecuación elíptica regular, i.e. sin singularidades en su dominio.
    • Puede resolverse de forma numérica.

El Método de Punctures

Fig 3.1 from the book

Taller: Ecuaciones de Restricción

  • Ver apéndice B.2.3 del libro "Numerical Relativity: starting from scratch".
    • Utilizar el código puncture.py.
  • Ver parte 4 del tutorial de NRPy+.
    • Utilizar los códigos de la sección "Initial data notebooks".

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## **El Problema de los Datos Iniciales**

- Para evolucionar un sistema en RN (al igual que en otras áreas) necesitamos **datos iniciales válidos**.

- Las condiciones iniciales no son totalmente "libres": deben satisfacer las EdE.

- **Problema:** Las ecuaciones de restricción de Einstein son altamente no lineales.

- Veremos un método para generar CI para **agujeros negros binarios**.

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## **Ejemplo: Solución de Schwarzschild**

En coordenadas esféricas, con simetría esférica, esto se reduce a:

$$

\left(\frac{1}{r^2}\frac{d(r\psi)}{dr}\right) = 0

$$

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## **Resumen de la Clase**

- Para modelar agujeros negros binarios en relatividad numérica, necesitamos resolver ecuaciones de restricción.

- El **método de punctures** evita la singularidad dividiendo la solución en una parte singular y una corrección regular.

- Se obtiene una ecuación elíptica para $u$, que puede resolverse numéricamente.

- Este método es la base de muchas simulaciones actuales de agujeros negros.