Foliación del espaciotiempo y el formalismo 3+1

Clase 16

Objetivos de la Clase

• El concepto de foliaciones del espaciotiempo.
• La descomposición 3+1 y su uso en relatividad numérica.
• Ecuaciones de restricción y evolución en la formulación 3+1.

Motivación para el formalismo 3+1

• La RG unifica el concepto de espacio y tiempo para describir la geometría del espacio-tiempo mediante su métrica $g_{\mu\nu}$.
• Sin embargo, en simulaciones numéricas buscamos evolucionar un sistema en el tiempo.
  • Por ejemplo, como orbitan dos agujeros negros en el tiempo.
• En cierto sentido, esto requiere 'dar un paso atrás' y plantear RG en términos de una descripción de espacio y tiempo 'separados'.

Motivación para el formalismo 3+1

• Notar que esto no quiere decir volver al régimen Newtoniano del tiempo absoluto.
  • Debemos hacerlo dentro de la RG.
• Esto puede hacerse mediante el formalismo 3+1 para reescribir las EdE en una forma conveniente.
  • Dividiremos el espacio-tiempo en rebanadas (hiper-superficies espaciales) parametrizadas por un tiempo $t$.
  • Describiremos como se conectan dichas rebanadas (slices).

Motivación para el formalismo 3+1

Una analogía:

• En mecánica newtoniana, el estado de un sistema se describe completamente mediante posiciones y velocidades $\forall t$.
• En RG, podemos definir el "estado" del espacio-tiempo de manera similar.
  • Las variables básicas serán una métrica espacial y su respectiva 'velocidad' (la curvatura extrínseca).
• Esto equivale a una descripción Hamiltoniana de la RG.

Foliación del Espaciotiempo

• Un espaciotiempo se puede dividir en hipersuperficies espaciales $\Sigma_t$ etiquetadas por un parámetro temporal $t$.
• Definimos un vector normal a estas hipersuperficies, $n^a$.
  • En una esfera, este vector sería análogo a $\hat{r}$ ($R$=const.).

Conectando dos slices vecinas

Descomposición 3+1

• La métrica del espaciotiempo $g_{ab}$ se descompone en:

  • Métrica espacial inducida: $\gamma_{ij} = g_{ij} + n_i n_j$.

    • Esta mide distancias en cada hipersuperficie espacial.

  • Lapso ($\alpha$) y shift ($\beta^i$):

    $$ds^2 = -\alpha^2 dt^2 + \gamma_{ij} (dx^i + \beta^i dt)(dx^j + \beta^j dt)$$

• Notablemente, esta descomposición permite reescribir las ecuaciones de Einstein en términos de dos tipos de ecuaciones: evolución y restricción.

El lapso y el vector de shift

• El lapso ($\alpha$) determina qué tan rápido transcurre el tiempo en cada punto del espacio.
  • $\alpha=1$: el tiempo transcurre al mismo ritmo en que Minkowski.
  • $\alpha<1$: el tiempo transcurre más lento que en Minkowski.
• El vector de shift ($\beta$) re-etiqueta las coordenadas entre dos instantes de tiempo.
  • Típicamente (pero no siempre) se escoge un sistema de coordenadas donde $\beta^i=0$.

La Curvatura Extrínseca

• La métrica inducida $\gamma_{ij}$ juega el papel de la 'posición' en
  la descripción Hamiltoniana.

• La curvatura extrínseca $K_{ij}$ será el análogo de la variable 'velocidad' en este formalismo. Se define como:

  $$K_{ij} = -\frac{1}{2} \mathcal{L}_n \gamma_{ij}$$

  donde $\mathcal{L}_n$ es la derivada de Lie en la dirección normal.

• Esta mide cómo la hipersuperficie $\Sigma_t$ se curva dentro del espacio-tiempo (como una esfera dentro del espacio 3D).

La Curvatura Extrínseca

• Para un espacio-tiempo plano, $K_{ij} = 0$
• Para un espacio-tiempo curvo, $K_{ij} \neq 0$

Ecuaciones de RG en 3+1

• Con este formalismo, las EdE se dividen en dos categorías: ecuaciones de restricción, y ecuaciones de evolución:
  • Restricción: no contienen derivadas temporales de $\gamma_{ij}$ o $K_{ij}$.
    • Son análogas a la Ec. de Poisson de la gravedad Newtoniana. Se satisfacen en cada instante de tiempo.
  • Evolución: sí contienen derivadas temporales de $\gamma_{ij}$ o $K_{ij}$.
    • Son análogas a la Ec. de onda para las ondas gravitacionales.

Ecuaciones de Restricción

• Restricción Hamiltoniana:

  $$\mathcal{H} \equiv R + K^2 - K_{ij}K^{ij} - 16\pi\rho = 0$$

• Restricción de Momento:

  $$\mathcal{M}^i \equiv D_j (K^{ij} - \gamma^{ij} K) - 8\pi S^i = 0$$

donde $R$ y $D_i$ son el escalar de curvatura de Ricci y la derivada
covariante asociadas a la métrica $\gamma_{ij}$, $\rho$ la densidad, y $S^i$ el momentum (provienen de $T_{\mu\nu}$).

Ecuaciones de Evolución

• Por otra parte, la evolución de $\gamma_{ij}$ y $K_{ij}$ está dada por:

  • Evolución de la métrica espacial:

    $$\partial_t \gamma_{ij} = -2\alpha K_{ij} + D_i\beta_j + D_j\beta_i$$

  • Evolución de la curvatura extrínseca:

    $$\partial_t K_{ij} = -D_i D_j \alpha + \alpha (R_{ij} + K K_{ij} - 2 K_{ik} K^k_j) + \mathcal{L}_\beta K_{ij} - 8\pi \alpha (S_{ij} - \frac{1}{2} \gamma_{ij} (S - \rho))$$

Relatividad Numérica en 3+1

• En RN se suelen resolver las ecuaciones en la forma 3+1.
• Ecuaciones de evolución se modifican un poco para tener mejores propiedades numéricas.
  • Ejemplo: las formulaciones de BSSN, Z4, CCZ4, ...
• Las Ecuaciones de Restricción no suelen resolverse durante una simulación. Más bien:
  • Se resuelven en $t=0 \implies$ una condición inicial válida.
  • En $t>0$, se reemplazan en estas las soluciones obtenidas y se evalua su precisión (numéricamente, $\mathcal{H}\neq0$ y $\mathcal{M}^i\neq0$).

Ejercicios Propuestos

• Mostrar que, en el límite Newtoniano ($v/c\ll1$, $\Phi/c^2\ll1$), la restricción Hamiltoniana $\mathcal{H}=0$ se reduce a la ecuación de Poisson (puede usar cálculos simbólicos).
  • Hint: es necesario linealizar las expresiones, dada las condiciones del límite Newtoniano.