Ondas Gravitacionales

Clase 11

Objetivos de la Clase

• Teoría de Perturbaciones.
• Aplicación a las Ecuaciones de Einstein.
• Ondas Gravitacionales.
• Fórmula del cuadrupolo para la emisión de ondas gravitacionales.

Teoría de Perturbaciones

• La Teoría de Perturbaciones (TP) es usada en todas las áreas de la Física (notablemente en RG y Mecánica Cuántica).

• Idea central: si conocemos una solución analítica $f(x)$ de cierta ecuación diferencial, podemos buscar soluciones 'cercanas' mediante una expansión perturbativa sobre un parámetro $\lambda$ (el cual puede tener sentido físico, o ser artificial)

  $$F(x) = f_0 + \lambda^{1} f_1 + \lambda^{2} f_2 + ... = \sum_{i} \lambda^i f_i$$

  donde $f_0 = f$ es la solución del problema conocido.

Luego:

1. Insertamos esta expansión en la ecuación que queremos resolver, y juntamos los términos del mismo orden en $\lambda$.
2. Por construcción, los términos sin $\lambda$ se cancelarán (ya que conocemos la solución base, i.e. $f_0$).
3. Exigimos que la igualdad de la ecuación se cumpla orden por orden en $\lambda$, lo cual nos otorga un conjunto de ecuaciones.
4. Finalmente, intentamos resolver dicho conjunto de ecuaciones en orden (jerárquicamente), empezando por $\mathcal{O}(\lambda^{1})$.

Teoría de Perturbaciones

• Formalmente, el parámetro $\lambda$ es 'pequeño' en magnitud, i.e., debemos respetar la condición

$$\vert \lambda \vert < 1\,.$$

• Esto permite que la expansión perturbativa $F(x)= \sum_{i} \lambda^i f_i$ no diverja a medida que agregamos más y más términos.
• En caso de que converja, mientras más términos agreguemos, la solución será más precisa.
  • En la práctica, se suele parar en orden 1 (lineal) o 2.

Aplicación a las ecuaciones de Einstein

• En RG se conocen pocas soluciones analíticas, pero podemos usarlas de $f_0$ e intentar buscar algunas otras soluciones.
• Por ejemplo, sabemos que la solución del espaciotiempo totalmente vacío en términos de coordenadas Cartesianas es la métrica de Minkowski:

$$G_{\mu\nu} = T_{\mu\nu} = 0$$

$$\implies g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} = \textrm{diag}(-1,1,1,1)$$

Ondas Gravitacionales

• Ahora, consideremos una pequeña perturbación $h_{ab}$ sobre cada componente de la métrica de Minkowski:

  $$g_{ab} = \eta_{ab} + h_{ab}, \quad |h_{ab}| \ll 1$$

• Linealizando las ecuaciones de Einstein, i.e. considerando términos hasta $\mathcal{O}(h)$, se obtiene la ecuación de onda:

  $$(-\partial {}^{2}_{t} + \nabla^2)\bar{h}_{ab} \equiv \Box \bar{h}_{ab} = 0$$

  donde $\bar{h}_{ab} = h_{ab} - \frac{1}{2} \eta_{ab} h$ se denomina la perturbación métrica de traza inversa.

Ondas Gravitacionales

• Es decir, las EdE a primer orden en teoría de perturbaciones resultan en una ecuación de onda en el espacio-tiempo plano:

  $$\Box \bar{h}_{ab} = 0$$

• Esto implica que $\bar{h}_{ab}$ tiene un comportamiento ondulatorio, i.e. son ondas gravitacionales!

• Notar que, al igual que las ondas electromagnéticas, estas ondas se propagan en el vacío a la velocidad de la luz.

• Sin embargo, lo que ondula es el espaciotiempo mismo!

Ondas Gravitacionales

• Notar que, al contrario que la solución de Schwarzschild, esta solución no es estacionaria, sino que depende del tiempo ya que se propaga.

• Existen dos tipos de polarización: plus ($+$) y cruz ($\times$).

Ahora, consideremos una onda plana que viaja a lo largo del eje $z$ hacia nosotros.

Su efecto sobre un anillo de partículas de prueba será:

Ondas Gravitacionales

Ondas Gravitacionales

• Las ondas gravitacionales pueden interpretarse como una componente del campo gravitacional que se propaga.
• Notar que las obtuvimos mediante Teoría de Perturbaciones.
  • Su magnitud es extremadamente pequeña, incluso si se originaron debido a una gran densidad de materia/energía, e.g. un agujero negro no estático.
  • Debemos mirar regiones suficientemente lejanas donde el espaciotiempo sea muy cercano a Minkowski (este fue el 'background' o fondo que utilizamos para las perturbaciones).

Fórmula del Cuadrupolo

• En concreto, las ondas gravitacionales se originan o emiten por el cambio en el momento cuadrupolar de un sistema.

• Para un sistema que evoluciona lentamente (respecto a la velocidad de la luz), la solución puede escribirse como:

  $$h_{ij}^{TT} \approx \frac{2}{d} \ddot{\mathcal{I}}_{ij}^{TT}(t - d)$$

  donde:

  • $d$ es la distancia entre la fuente y el observador.
  • $\mathcal{I}_{ij}^{TT}$ es el tensor de momento cuadrupolar reducido.

Fórmula del Cuadrupolo

• Este último tensor está definido como:

$$\mathcal{I}_{ij} = I_{ij} - \frac{1}{3}\delta_{ij} I$$

donde $I_{ij}$ es el tensor de momento cuadrupolar, dado por

$$I_{ij} = \int \rho x^i x^j d^3x$$

donde $\rho$ es la densidad de materia-energía.

Fórmula del Cuadrupolo

• El 'TT' en el tensor $\mathcal{I}_{ij}^{TT}$ indica que este es 'transverse traceless'.
  • $\partial^j\mathcal{I}_{ij}^{TT}=\vec{0}$ ('transverse').
  • $\delta^{ij}\mathcal{I}_{ij}^{TT} = \mathcal{I}^{TT}=0$ ('traceless', sin traza).
• Para esto se aplica el 'proyector' $P_i^j = n_i^j - n_i n^j$:

$$\mathcal{I}_{ij}^{TT} = \left(P_i^k P_j^l - \frac{1}{2} P_{ij}P^{kl}\right)\mathcal{I}_{kl}$$

donde $n^i = x^i/d$ es el vector de distancia 'normalizado'.

Ejemplo: Sistema Binario

• Consideremos un sistema de dos masas $m_1, m_2$ en órbita circular en el plano XY. Su momento cuadrupolar es:

  $$I_{ij} = \frac{1}{2} \mu R^2 \begin{bmatrix} 1 + \cos 2\omega t & \sin 2\omega t & 0 \\ \sin 2\omega t & 1 - \cos 2\omega t & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

  donde:

  • $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ es la masa reducida del sistema.
  • $R$ es la separación orbital.
  • $\omega$ es la frecuencia angular orbital.

Ejercicio

• Dado el tensor de momento cuadrupolar del sistema anterior, calcular $\mathcal{I}_{ij}$.

Conclusiones

• Al resolver las EdE en el regimen perturbativo (con un 'background' o fondo de Minkowski), se obtiene una ecuación de onda, lo cual predice la existencia de ondas gravitacionales.
• Al contrario que Schwarzschild, estas ondas son soluciones dinámicas.
• Se originan/emiten cuando el momento cuadrupolar de un sistema cambia en el tiempo.
• Es posible obtener información sobre la fuente que las emite a través de ellas, e.g. su masa (veremos más sobre esto la próxima clase).