Introducción a la Relatividad Numérica

Clase 1

Información del curso e introducción

¿Qué es la Relatividad Numérica?

• La Relatividad Numérica es la rama de la física computacional que estudia soluciones de las ecuaciones de Einstein mediante técnicas numéricas.
• Permite explorar fenómenos gravitacionales que:
  • La gravedad Newtoniana no es capaz de describir.
  • Los métodos analíticos no son capaces de resolver.

Objetivos del curso

En este curso, aprenderemos sobre:

• Los conceptos fundamentales de la Relatividad Numérica.
• Las principales aplicaciones en astrofísica y gravitación.
• Los desafíos computacionales que aparecen al intentar resolver las ecuaciones de Einstein.
• El rol de las simulaciones numéricas en el estudio de fenómenos gravitacionales extremos.

Modalidad del curso

• El curso se desarrollará mediante clases teóricas y sesiones prácticas.
• La primera parte del curso será principalmente teórica (~1 mes).
• Luego, nos concentraremos en la parte numérica y aplicaciones.

Aplicaciones de la Relatividad Numérica

• Ondas gravitacionales: Permite predecir y analizar señales detectadas por observatorios como LIGO y Virgo.
• Colisión de agujeros negros y estrellas de neutrones: Permite modelar estos eventos y predecir sus efectos observacionales.
• Colapso gravitacional y formación de agujeros negros: Permite estudiar cómo se forman estos objetos.
• Cosmología computacional: Permite estudiar la evolución del universo y poner a prueba distintas teorías de la gravitación.

La gravedad y el espaciotiempo

Los agujeros negros

Las ondas gravitacionales

• En 2015, LIGO detectó por primera vez una señal de ondas gravitacionales generadas por la fusión de dos agujeros negros.
• Este evento confirmó una predicción importante de la Relatividad General de Einstein: la existencia de dichas ondas.
• Además, abrió una nueva era en la astronomía observacional.
• Actualmente se planean nuevos proyectos para medir ondas gravitacionales en el futuro, incluso en el espacio (LISA).

Ecuaciones de Einstein

$$G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}$$

donde

• $G_{\mu \nu}$: tensor de Einstein $\to$ la curvatura del espaciotiempo.
• $g_{\mu \nu}$: métrica del espaciotiempo $\to$ la geometría.
• $T_{\mu \nu}$: tensor energía-momento $\to$ materia y energía.
• $\Lambda$: constante cosmológica $\to$ expansión del universo.

Desafíos Computacionales

1. Ecuaciones altamente no lineales: Las ecuaciones de Einstein son un sistema de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, lo que dificulta su solución.
2. Condiciones de frontera y estabilidad numérica: Se deben diseñar algoritmos que garanticen estabilidad y precisión en la simulación de espaciotiempos curvos.
3. Altos requerimientos computacionales: Las simulaciones más realistas requieren una gran capacidad computacional, y típicamente se debe usar supercomputadores (clusters de cómputo).

Impacto en la Ciencia y la Tecnología

La Relatividad Numérica no solo es relevante en la investigación teórica, sino que ha tenido un impacto profundo en áreas como:

• Astronomía de ondas gravitacionales: Interpretación de datos obtenidos de observatorios como LIGO y Virgo.
• Exploración de nueva física: Prueba de teorías alternativas de gravedad y materia oscura.
• Desarrollo de algoritmos computacionales avanzados: Métodos de integración numérica y técnicas de análisis de datos.

Contenidos del curso

• Comenzaremos con una introducción a la Relatividad General.
  • Conceptos principales (no exhaustivo): el espaciotiempo y la métrica, la curvatura, las Ecuaciones de Einstein.
• Discutiremos algunas de las soluciones de mayor importancia (agujero negro de Schwarzschild, ondas gravitacionales).
• Posteriormente discutiremos las ecuaciones que buscamos resolver en la Relatividad Numérica.
• Luego, revisaremos los métodos numéricos necesarios para resolver dichas ecuaciones.
• La parte final del curso estará enfocada en aplicaciones.

Evaluaciones del curso

• Tareas de ejercicios propuestos (30%)

  • Tarea 1: entrega semana 4 del curso.
  • Tarea 2: entrega semana 7 del curso.

• Un proyecto de investigación sobre un tópico afín:

  • Presentación de avance: 26 de junio (20%)
  • Presentación final: 10 y 17 de julio (50%)

• Prueba Extraordinaria: 23 de julio.

Bibliografía del curso

La mayor parte de los contenidos del curso se discuten en:

• T. Baumgarte & S. Shapiro, "Numerical Relativity: Starting from Scratch", Cambridge University Press, 1st edition, 2021.

Bibliografía complementaria:

• M. Alcubierre, "Introduction to 3+1 Numerical Relativity", Oxford University Press, 2008.
• S. Carroll, "Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity", Addison-Wesley, 2003.

Próximas clases

• Como punto de partida, estudiaremos la gravedad Newtoniana.
  • En particular, nos interesa entenderla en términos del Campo Gravitacional y su ecuación (de campo) governante.
  • Discutiremos algunas motivaciones que llevan a reemplazarla por la Relatividad General de Einstein.
• Haremos una revisión de algunas notaciones matemáticas necesarias para la Relatividad General.
  • Notación indicial para vectores y tensores.
  • Notación de suma de Einstein.
  • Operaciones básicas con vectores y tensores (índices).