Simulaciones

Las simulaciones son una parte integral de la ciencia (especialmente las ciencias físicas).

En esta parte del curso veremos algunos ejemplos de simulaciones computacionales en diversas áreas:

  • Astronomía
  • Física fundamental
  • Meteorología
  • Economía, sistemas complejos, ...

Simulaciones en la astronomía

La gran mayoría de nuestro conocimiento de la formación de estructuras en la evolución del Universo viene de simulaciones computacionales.

Esto es en parte porque la mayoría de la materia y energía en el Universo no es visible:

Por definición, la Materia Oscura no es visible. La única manera de entender como su presencia contribuye a la evolución del Universo es por el uso de simulaciones computacionales.

Influye en la formación de galaxias, cúmulos de galaxias, ...

Gracias a las simulaciones, hoy en día sabemos mucho más cómo se forma la estructura del Universo. Es decir, como se forman y agrupan los cúmulos de galaxias que podemos observar con los telescopios.

Con una simulación de N-cuerpos podemos reproducir esta estructura:
Comparación entre un survey de galaxias (2dF) y la simulación Millenium
Simulación cosmológica (Millenium)

También podemos crear simulaciones de la evolución de galaxias individuales, y los choques de galaxias. Necesitamos simulaciones, por que estos procesos ocurren durante millones de años, y por lo tanto no se puede observar todo el proceso en la realidad.
Simulación de las galaxias antennae

¿Porqué simulaciones?

  • Entendemos bastante bien los fundamentos físicos de todos estos sistemas, i.e. las ecuaciones que los gobiernan.
  • Pero los sistemas son tan complejos (tienen muchos componentes) que no podemos resolver analíticamente las ecuaciones que describen su comportamiento físico .
    • En vez de esto, podemos encontrar soluciones numéricas.

Simulaciones en la física

  • Las simulaciones han contribuido mucho al desarrollo de varias áreas de la física.
  • Por ejemplo, hay simulaciones en:
    • La física de partículas.
    • La gravitación.
    • Inclusive en teorías mucho más especulativas, cómo teoría de cuerdas y la gravedad cuántica.

Relatividad general

La relatividad general es la teoría de la gravedad de Einstein. Según esta teoría, la fuerza gravitacional es la curvatura del espacio-tiempo.

Las ecuaciones de Einstein, que definen la teoría, son (de nuevo) no-lineales y por lo tanto son muy difíciles de resolver en general.

Por ejemplo, para un sistema de dos agujeros negros, es imposible calcular analíticamente la órbita y eventual choque de los objetos. Hay que utilizar simulaciones computacionales:

  • En la animación podemos ver la emisión de ondas gravitacionales.
  • Estas ondas fueron detectadas en septiembre 2015 por primera vez en la historia.
  • Con las simulaciones computacionales era posible confirmar el sistema que produjo las ondas.

Sistemas complejos

  • Ahora vamos a ver ejemplos de simulaciones fuera de la física.
  • El área de sistemas complejos es un área de investigación interdisciplinaria de sistemas que tienen un comportamiento complejo, pero están basados en reglas simples.
  • Otra forma de expresar esta idea es decir que la complejidad del sistema es una propiedad emergente. Resulta de la interacción de muchos elementos simples.
  • Estos sistemas ocurren muy a menudo en la biología.

Bandadas de aves

Un ejemplo de tal sistema sería las bandadas de aves:

La pregunta es:

¿cómo emerge el comportamiento "global" de las interacciones de muchas aves?

Resulta que es posible simular este comportamiento con un sistema de agentes (computacionales) interactuando con reglas simples (que veremos a continuación).

  • Cada punto en la simulación arriba representa un pájaro.
  • Hay reglas muy simples que controlan el movimiento da cada punto:
    1. No vuele demasiado cerca de sus vecinos
    2. Vuele hacia la dirección promedio de sus vecinos
    3. Vuele hacia la posición promedio de sus vecinos

Con estas $3$ simples reglas, obtenemos un comportamiento emergente que es más complejo.

Automata celular

Una área importante del estudio de sistemas complejos es el área de automata celular.

Estos son sistemas muy simples:

  • Se tiene una cuadrícula de celdas (células).
  • Cada célula de la cuadrícula puede ser "viva" o "muerta".
  • Dicho estado depende del estado de sus células vecinas.

Un ejemplo muy famoso de estos tipos de sistemas es el "Juego de la Vida" (Game of Life) del matemático John Conway.

Las reglas del juego de la vida

Reglas:

  1. Una célula viva con $< 2$ células vecinas vivas se muere (de soledad).
  2. Una célula viva con $2$ o $3$ células vecinas vivas sigue viviendo.
  3. Una célula viva con $> 3$ células vecinas vivas se muere (sobrepoblación)
  4. Una célula muerta con exactamente $3$ células vecinas vivas vuelve a la vida.

Por la combinación de estas reglas simples, y muchas células, se puede tener un comportamiento muy complejo:

  • Los patrónes de células como los que "se mueven" hacia abajo a la derecha en la animación anterior son conocidos como gliders.
  • Un glider es un ejemplo de un "astronave" en el mundo del Juego.
    • Las "astronaves" son patrónes que se repiten en un número finito de generaciones pero que se mueven en el espacio del juego.

Un investigador descubrió en 2013 un "astronave" que se llama el Caterpillar (oruga) que tiene $11.880.063$ células...

Simulaciones con "agentes"

  • El Juego de la Vida y la simulación de los aves, son ejemplos de simulaciones donde hay muchos "agentes" interactuando.
  • Cada célula, o ave, corresponde a un "agente" que puede interactuar con los otros elementos de la simulación o con el ambiente virtual mediante reglas.

En el caso del Juego de la Vida, los "agentes" no hacen mucho: mueren o viven según el estado de sus vecinos.

Las aves tampoco hacen mucho: solamente evitan choques con sus vecinos mientras vuelan hacia el centro del grupo.

Simulaciones con agentes vs simulaciones de la Física

Las simulaciones de la física que vimos antes típicamente no son simulaciones con "agentes".

Las estrellas en una simulación de un cúmulo de estrellas no "hacen" nada, sino que están afectadas por fuerzas externas, por ejemplo la fuerza gravitacional.

SugarScape

  • Las simulaciones con agentes son común en la biología e y ciencias sociales.
  • Un ejemplo sería el modelo de "SugarScape".
  • Este modelo fue desarrollado por un par de economistas, Robert Axtell y Joshua Epstien, en los años 90.
  • En este modelo, hay un mundo virtual que contiene dos montañas de "azucar".
    • El mundo está poblado por agentes que comen el azucar para sobrevivir.
    • Estos pueden moverse 1 o 2 espacios antes de que necesitan más azucar.

  • En la versión más básica de SugarScape, los agentes comienzan siendo distribuidos aleatoriamente en el mundo virtual.
  • Los agentes que tienen la suerte de "nacer" donde hay mucha azúcar sobreviven fácilmente.
    • Los que nacen lejos del azúcar típicamente mueren rápido...
Una simulación de SugarScape

El ejemplo de SugarScape muestra la posibilidad de usar simulaciones computacionales para entender aspectos no solamente de las ciencias matemáticas, sino también de las ciencias sociales, como economía.

Resumen

  • Las simulaciones son el cuarto pilar de la ciencia!
  • Las simulaciones han permitido descubrir muchos resultados importantes durante las últimas décadas.
  • Hoy en día son una parte integral de la física, meteorología, astronomía, y muchas otras áreas como la economía, biología, ... .