Simulaciones¶
Las simulaciones son una parte integral de la ciencia (especialmente las ciencias físicas).
En esta parte del curso veremos algunos ejemplos de simulaciones computacionales en diversas áreas:
- Astronomía
- Física fundamental
- Meteorología
- Economía, sistemas complejos, ...
Simulaciones en la astronomía¶
La gran mayoría de nuestro conocimiento de la formación de estructuras en la evolución del Universo viene de simulaciones computacionales.
Esto es en parte porque la mayoría de la materia y energía en el Universo no es visible:
Por definición, la Materia Oscura no es visible. La única manera de entender como su presencia contribuye a la evolución del Universo es por el uso de simulaciones computacionales.
Gracias a las simulaciones, hoy en día sabemos mucho más cómo se forma la estructura del Universo. Es decir, cómo se forman las galaxias y los cúmulos de galaxias que podemos observar con los telescopios.
Con una simulación de N-cuerpos podemos reproducir esta estructura:
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| Comparación entre un survey de galaxias (2dF) y Millenium |
Es importante acordar que esta simulación es solamente de la materia oscura no de las galaxias, que están hecho de baryones (materia visible).
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| Simulación cosmológica (Millenium) |
Se puede incluir los baryones ("gas") en las simulaciones cosmológicas. Con la inclusión de gas, hay que incluir también los procesos físicos que afectan el gas:
- Hidrodinámica
- Formación de etrellas
- Supernovae
- Feedback (retroalimentación) de los agujeros negros supermasivos
Las simulaciones cosmológicas no tienen la resolución para simular precisamente lo que ocurre a las escalas de las estrellas y agujeros negros. Así que, usan parametrizaciones.
Parametrizaciones¶
Ejemplo de formación de estrellas:
- La simulación tiene una malla con muchas celdas (como en el ejemplo de una simulación del clima que vimos antes).
- El tamaño físico de cada celda es mucho mayor que el tamaño de una estrella.
- Entonces, podemos utilizar algún tipo de criterio sobee la densidad del gas en cada celda para ver si las estrellas se forman o no:
Por ejemplo: Si $\rho > \rho_{\star}$ creamos una partícula nueva que representa $100$ estrellas.
Lo que tenemos en este caso es una "receta" para crear nuevas estrellas en la simulaciones, pero es una aproximación al proceso físico verdadero.
Las simulaciones cosmológicas modernas incluyen muchas "recetas" así.
También podemos crear simulaciones de la evolución de galaxias individuales, y los choques de galaxias. Necesitamos simulaciones, por que estos procesos ocurren durante millones de años, y por lo tanto no se puede observar todo el proceso en la realidad.
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| Simulación de las galaxias antennae |
A escalas más pequeñas, podemos estudiar cúmulos de estrellas, formación de estrellas, evolución de estrellas, formación planetaria y dinámica planetaria, todos con simulaciones computacionales:
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| Simulación del nacimiento de una estrella de neutrones |
¿Porqué simulaciones?¶
Entendemos bastante bien los fundamentos físicos de todos estos sistemas. Pero los sistemas son tan complejos (tienen muchos componentes) que no podemos resolver las ecuaciones que describen su comportamiento físico analíticamente.
Simulaciones en la física¶
- Las simulaciones han contribuido mucho al desarrollo de varias áreas de la física.
- Por ejemplo, hay simulaciones en la teoría de materia condensada, estados sólidos, física de partículas, gravitación, e incluso teorías mucho más especulativas cómo teoría de cuerdas y la gravedad cuántica.
Vamos a ver un par de ejemplos de la física de partículas y la Relatividad General de Einstein.
Física de partículas¶
Cada átomo tiene un núcleo. Los núcleos de los átomos están compuestos por neutrones y protones (nucleones). Los protones y neutrones están compuestos por quarks.
Los quarks interactúan a través de una fuerza que se llama la fuerza fuerte. Los fotones son las partículas que "llevan" la fuerza electromagnética, entonces hay partículas que "llevan" la fuerza fuerte que se llaman gluones. (La palabra "glue" en inglés significa pegamento).
La teoría de la física que describe la dinámica de los gluones se llama cromodinámica cuántica (Quantum Chromodynamics, QCD, en inglés).
Es una teoría muy complicada y no-lineal. Por eso, es muy difícil calcular resultados con la teoría (por ejemplo, para calcular las masas de las partículas que observamos en experimentos como el LHC)
La única manera de calcular muchos resultados en esta teoría es con simulaciones computacionales. De hecho, es un ramo de la física de partículas, que se llama Lattice QCD (QCD en una malla).
- Casi todos las predicciones de QCD que están verificando en el LHC son de simulaciones computacionales.
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| Una animación de una simulación de QCD. Los colores tienen que ver con la densidad de gluones en esa región. |
¡El volumen en la animación arriba es menor que el tamaño del núcleo de un átomo ($< 10^{-12}$ m)!
Relatividad general¶
La relatividad general es la teoría de la gravedad de Einstein. Según esta teoría, la fuerza gravitacional es la curvatura del espacio-tiempo.
Las ecuaciones de Einstein, que definen la teoría, son (de nuevo) no-lineales y por lo tanto son muy difíciles de resolver en general.
Por ejemplo, para un sistema de dos agujeros negros, es imposible calcular analíticamente la órbita y eventual choque de los objetos. Hay que utilizar simulaciones computacionales:
En la animación podemos ver la emisión de ondas gravitacionales. Estas ondas fueron detectadas en septiembre 2015 por primera vez en la historia. Con las simulaciones computacionales era posible confirmar el sistema que produjo las ondas:
Sistemas complejos¶
Ahora vamos a ver ejemplos de simulaciones fuera de la física.
El área de sistemas complejos es un área de investigación interdisciplinaria de sistemas que tienen un comportamiento complejo, pero están basados en reglas simples.
Otra forma de expresar esta idea es decir que la complejidad del sistema es una propiedad emergente. Resulta de la interacción de muchos elementos simples.
Estos sistemas ocurren muy a menudo en la biología.
Bandadas de aves¶
Un ejemplo de tal sistema sería las bandadas de aves:
La pregunta es, ¿cómo emerge el comportamiento "global" de las interacciones de muchos aves?
Es posible reproducir este comportamiento con un sistema de agentes (computacionales) interactuando con reglas simples:
Cada punto en la simulación arriba representa un pájaro. Hay reglas muy simples que controlan el movimiento da cada punto:
- No vuele demasiado cerca a sus puntos vecinos
- Vuele hacia la dirección promedia de sus vecinos
- Vuele hacia la posición promedia de sus vecinos
Con estas $3$ reglas simples, tenemos un comportamiento emergente que es más complejo.
Automata celular¶
Una área importante del estudio de sistemas complejos es el área de automata celular.
Estos son sistemas muy simples: una cuadricula de celdas (células), donde cada célula puede ser "viva" o "muerta". Su estado depende del estado de sus células vecinas.
Un ejemplo muy famoso de estos tipos de sistemas es el "Juego de la Vida" (Game of Life) del matemático John Conway.
Las reglas del juego de la vida¶
- Una célula viva con $< 2$ células vecinas vivas se muere (soledad)
- Una célula viva con $2$ o $3$ células vecinas vivas sigue viviendo.
- Una célula viva con $> 3$ células vecinas vivas se muere (superpoblación)
- Una célula muerta con exactamente $3$ células vecinas vivas vuelve a la vida.
Por la combinación de estas reglas simples, y muchas células, se puede tener comportamiento complejo:
- Los patrónes de células como los que "se mueven" hacia abajo a la derecha en la animación anterior son conocidos como gliders.
- Un glider es un ejemplo de un "astronave" en el mundo del Juego. Los "astronaves" son patrónes que se repiten en un número finito de generaciones pero que se mueven en el espacio del juego.
Un investigador descubrió en 2013 un "astronave" que se llama el Caterpillar (oruga) que tiene $11.880.063$ células...
Simulaciones con "agentes"¶
- El Juego de la Vida y la simulación de los aves, son ejemplos de simulaciones donde hay muchos "agentes" interactuando.
- Cada célula, o ave, corresponde a un "agente" que puede interactuar con los otros elementos de la simulación o con el ambiente virtual.
En el caso del Juego de la Vida los "agentes" no hacen mucho: mueren o viven según el estado de sus vecinos.
Los aves tampoco hacen mucho: solamente evitan choques con sus vecinos mientras vuelan hacia el centro del grupo.
Simulaciones con agentes vs simulaciones de la Física
Las simulaciones de la física que vimos antes típicamente no son simulaciones con "agentes".
Las estrellas en una simulación de un cúmulo de estrellas no "hacen" nada, sino que están afectadas por fuerzas externas, por ejemplo la fuerza gravitacional.
SugarScape¶
El uso de simulaciones con agentes es más común en la biología e incluso en las ciencias sociales.
Un ejemplo sería el modelo de "SugarScape". Este modelo fue desarrollado por un par de economistas, Robert Axtell y Joshua Epstien, en los años 90.
En este modelo, hay un mundo virtual que contiene dos montañas de "azucar". El mundo está poblado por agentes que comen el azucar para sobrevivir, y pueden moverse un espacio o dos antes de que necesitan más azucar.
- En la versión más básica de SugarScape, los agentes comienzan siendo distribuidos aleatoriamente en el mundo virtual.
- Los agentes que tienen la suerte de "nacer" donde hay mucha azúcar sobreviven fácilmente. Ellos que nacen lejos del azúcar típicamente mueren rápido...
Un mercado en SugarScape¶
La verisón básica del modelo no es muy interesante. Para crear un modelo de una economía, pusieron otro recurso en el mundo: "especia". También dieron otra propiedad a los agentes: algunos estaban fanáticos del azúcar, y otros estaban fanáticos de la especia.
Como antes, los agentes no podían moverse mucho antes de la necesidad de consumir uno de los recursos, pero ahora podían intercambiar azúcar por especia, y vice versa. Había un "mercado".
La introducción del mercado creó una distribución de la riqueza...
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| Una simulación de SugarScape |
El ejemplo de SugarScape muestra la posibilidad de usar simulaciones computacionales para entender aspectos no solamente de las ciencias matemáticas, sino también de las ciencias sociales, como economía.
Resumen¶
- Las simulaciones son el cuarto pilar de la ciencia!
- Las simulaciones han permitido descubrir muchos resultados importantes durante las últimas décadas.
- Hoy en día son una parte integral de la física, meteorología, astronomía, y muchas otras áreas como la economía, biología, ... .